命题

命题

命题(或陈述)是一个说明性语句,它只能是真或假,不可能两者同时成立。

命题表达式

设 A(A, B, ...)为一个由取值为真(T)或假(F)的逻辑变量A, B, ... 以及逻辑联结 \land, \lor, \lnot 构成的表达式。 这样的表达式A(A, B, ...)称为一个命题。类似数学归纳.

命题公式

有限次应用(1)-(3)形成的符号串

复合命题

复合命题子命题及它们之间的各种联系组成的命题称为复合命题。

原子命题 不能被分解为更简单的命题(非复合命题)称为原子命题

永真假命题

永真命题 对于变量的任意值,都为真 的命题。

永假命题 对于变量的任意做,都为假的命题。

定理4.1(代入原理) 若A(A, B, ...)是永真命题, 则对任意命题P_1, P_2, ..., 命题A(P_1, P_2, ...)仍然是永真命题。

基本逻辑运算

合取联结

任何两个命题可以用术语“与”联合而成一个复合命题,叫做这两个原始命题的合取联结。记作:

$$
A \land B
$$

读作“A与B”,表示A与B的合取联结。

定义4.1 如果A与B均为真,则A \land B 为真;否则 A \land B为假。

析取联结

任何两个命题可以用术语“或”联合而成一个复合命题,叫做这两个原始命题的析取联结。记作:

$$
A \lor B
$$

读作“A 或 B”,表示A 与 B的析取联结。

定义4.2 如果A与B均为假,则 A \lor B 为假;否则A \lor B为真。

否定联结, \lnot A

给定任一命题A,都可以通过在A前面添加“不是”或“假”或在A前面插入“非”,得到另一个命题,称为A的否定联结,记作:

$$
\lnot A
$$

读作“非A”,表示A的否定联结。

定义4.3 如果A为真,则 \lnot A 为假;如果A为假,则 \lnot A 为真。

联结优先级

规定

$$
\lnot 优先于 \land 优先于 \lor 优先于 → 优先于 ⬅→
$$

逻辑等价

两个命题A(A, B, ...) 与 B(A, B, ...)如果具有相同的真值表,则称为逻辑等价的,或简称为等价相等,记作:

$$
A(A, B, ...) \equiv B(A, B, ..)
$$

例如:

$$
\lnot (A \land B) \equiv \lnot A \land \lnot B
$$

条件语句与双条件语句

蕴涵式: 除了真的不能说成假的,其它都是啊对对对,或者理解为小于等于号<=

条件语句 具有形式“如果A则B”的语句称为条件语句。记作:

$$
A \implies B
$$

常读作“A蕴含B”或者“仅当B时有A”。

双条件语句 具有形式“A当且仅当B”的语句称为双条件语句。相当于等于号==

记作:

$$
A \iff B
$$

ABA \iff B
TTT
TFF
FTF
FFT

真值表

ABA \implies B
TTT
TFF
FTT
FFT

(为何 (F, F) = T ?)

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命题代数

定理4.2 命题满足如下定律:

幂等律

$$
A \lor A \equiv A
$$

$$
A \land A \equiv A
$$

结合律

$$
(A \lor B) \lor r \equiv A lor (B \lor r)
$$

$$
(A \land B) \land r \equiv A \land (B \land r)
$$

交换律

$$
A \lor B \equiv B \lor A
$$

$$
A \land B \equiv B \land A
$$

分配律

$$
A \lor (B \land r) \equiv (A \lor B) \land (A \lor r)
$$

$$
A \land (B \lor r) \equiv (A \land B) \lor (A \land r)
$$

同一律

$$
A \land T \equiv A, A \lor F \equiv A
$$

$$
A \lor T \equiv T, A \land F \equiv F
$$

互补律

$$
A \lor \lnot A \equiv T, A \land \lnot A \equiv F
$$

$$
\lnot T \equiv F, \lnot F \equiv T
$$

对合律

$$
\lnot \lnot A \equiv A
$$

德·摩根律

$$
\lnot(A \lor B) \equiv \lnot A \land \lnot B
$$

$$
\lnot(A \land B) \equiv \lnot A \lor \lnot B
$$

吸收律

$$
A \lor ( A \land B ) \iff A
$$

$$
A \land ( A \lor B ) \iff A
$$

零律

$$
A \lor 1 \iff 1 , A \land 0 \iff 0
$$

一律

$$
A \land 1 \iff A , A \lor 0 \iff A
$$

排中律

有争议,比如: 我说的这句话是假的

$$
A \lor \lnot A \iff 1
$$

矛盾律

$$
A \land \lnot A \iff 0
$$

蕴含等值式

$$
A \implies B \iff \lnot A \lor B
$$

等价等值式

$$
A \equiv B \iff (A \implies B) \land (B \implies A)
$$

假言易位

$$
A \implies B \iff \lnot B \implies \lnot A
$$

归谬论

$$
(A \implies B) \land (A \implies \lnot B) \iff \lnot A
$$

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